comment vérifier si un vecteur est dans l'espace de colonne


Réponse 1:

Considérons un espace 2D et deux vecteurs (imaginez des points dans cet espace):

v1 = [1,0]

v2 = [0,1]

Pensez à span comme à tous les vecteurs auxquels vous pouvez accéder dans cet espace par combinaison linéaire desdits vecteurs.

Considérons une transformation où vous avez mis à l'échelle le premier vecteur v1 par 3, puis l'avez ajouté au deuxième vecteur v2. Vous obtiendrez un nouveau vecteur [3,1] (3 * v1 + v2). Ce vecteur fait partie de l'ensemble des vecteurs (span) auxquels vous pouvez accéder en combinant linéairement les deux vecteurs.

Un peu de contexte avant d'arriver à l'espace des colonnes. Vous pouvez ignorer cette étape si vous connaissez le vecteur de base ou l'interprétation géométrique des matrices.

Si vous regardez attentivement ces vecteurs, ils sont un peu spéciaux. Contrairement à d'autres combinaisons de vecteurs, si vous combinez les deux vecteurs [1,0] et [0,1], vous pouvez obtenir N'IMPORTE QUEL vecteur dans l'espace 2D! Essaye le. Il existe un terme spécial pour ces types de vecteurs - les vecteurs de base. Disons que quelqu'un vous a donné un vecteur V3 et vous a demandé où ce vecteur finirait après avoir fait pivoter l'espace de 90 °. Puisque tous les vecteurs peuvent être formés par des vecteurs de base, vous pouvez déduire la réponse simplement en regardant où les vecteurs de base atterriraient après la transformation donnée. Ensuite, si vous prenez le nouvel emplacement du vecteur de base et le multipliez par V1, vous pouvez obtenir l'emplacement de V1 après la transformation. Vous pouvez donc interpréter les matrices comme un codage des vecteurs de base après une transformation.

L'espace de colonne est l'étendue des vecteurs de colonne dans une matrice.

Prenons une matrice:

\ begin {bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ \ end {bmatrix}

Vous pouvez interpréter les colonnes d'une matrice ([2,4] et [3,5]) comme l'emplacement résultant du vecteur de base après une transformation. Ainsi, toute combinaison linéaire de ces vecteurs colonnes [2,4] et [3,5] est l'espace colonne.


Réponse 2:

"Span" est en un certain sens le concept le plus fondamental. Autrement dit, «l'espace des colonnes d'une matrice est la portée des colonnes».

Si vous avez une collection de vecteurs, vous pouvez en prendre toutes les combinaisons linéaires possibles. L'ensemble de vecteurs résultant est un espace vectoriel appelé la durée de la collection d'origine.

L'espace colonne d'une matrice est toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs colonnes qui composent la matrice.

Donc, dans un autre sens, la seule différence est que nous n'utilisons que «espace de colonne» pour parler des vecteurs de colonne d'une matrice, et nous utilisons «span» pour toutes les autres collections de vecteurs.


Réponse 3:

Ok, je sais que c'est un peu déroutant. Il a fallu 15 minutes pour le comprendre. Mais cela s'est avéré assez facile.

Tout d'abord, qu'est-ce que «span»?

L'étendue est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de base.

Venons-en maintenant à l'espace colonne:

Considérons maintenant une matrice 3 * 3.

Chaque colonne de cette matrice 3 * 3 est un vecteur de base. Donc, chaque colonne pour i, j, k (cap), respectivement.

Et l'étendue de tous ces vecteurs de base est appelée espace de colonne.

Cela s'appelle l'espace de colonne car il s'agit de "l'étendue de tous les vecteurs qui sont emballés dans une matrice, chaque vecteur sous forme de colonne"

N'est-ce pas facile !!!


Réponse 4:

L'étendue d'un ensemble est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des éléments de cet ensemble.

L'espace de colonne est l'étendue de l'ensemble de colonnes dans une matrice.

L'un est une utilisation spéciale de l'autre concept.


Réponse 5:

La portée est l'espace linéaire généré par toute famille finie ou infinie d'éléments dans un espace linéaire fixe plus grand. L'espace de colonne est lié aux matrices, et est l'espace couvert par les vecteurs de colonne d'une matrice, donc un cas très particulier de span.

La portée est également appelée «coque linéaire» de la famille des vecteurs.