comment vérifier que les points se trouvent sur l'avion


Réponse 1:

Prenons l'équation vectorielle d'une ligne:

\ vec {r} (\ lambda) = \ vec {a} + \ lambda \ vec {b}

Pour qu'une ligne donnée se trouve sur un plan, elle doit être perpendiculaire au vecteur normal du plan. Si nous voulons savoir si une ligne se trouve sur le plan ou non, nous devons regarder la partie qui juge sa direction - le vecteur \ vec {b} de l'équation que j'ai citée ci-dessus. Si notre ligne se trouve sur le plan, alors ce vecteur sera parallèle au plan, ce qui signifie qu'il sera perpendiculaire à un vecteur normal de ce plan. Ainsi, le produit scalaire de \ vec {b} avec le vecteur normal doit être nul:

\ vec {b} \ cdot \ vec {N} = 0

Où \ vec {b} est le vecteur directionnel de la ligne, et \ vec {N} est un vecteur normal au plan.

Cependant, il ne suffit pas que la ligne soit parallèle au plan - une ligne peut être parallèle au plan, mais toujours pas dedans. Nous devons pouvoir prendre n'importe quel point de la ligne, et n'importe quel point du plan, et avoir le vecteur entre ces points parallèle au plan (et donc perpendiculaire au vecteur normal). Nous pouvons l'écrire sous forme d'équation comme suit:

\ Big (\ vec {r} (\ lambda) - \ vec {P_0} \ Big) \ cdot \ vec {N} = 0

Où \ vec {r} (\ lambda) est un vecteur vers un point donné sur la ligne, \ vec {P_0} est un point donné sur le plan, et \ vec {N} est un vecteur normal au plan.

Substituer dans l'équation de la droite:

(\ vec {a} + \ lambda \ vec {b} - \ vec {P_0}) \ cdot \ vec {N} = 0

Si la ligne est parallèle au plan, vous n'aurez qu'à tester l'équation pour une valeur de \ lambda - et pour simplifier les choses, vous pouvez choisir \ lambda = 0. Cela transformerait l'équation en:

(\ vec {a} - \ vec {P_0}) \ cdot \ vec {N} = 0


Pour conclure, si \ vec {b} \ cdot \ vec {N} = 0 (la ligne est parallèle au plan) alors (\ vec {a} - \ vec {P_0}) \ cdot \ vec {N} = 0 doit être vrai pour que la ligne se trouve dans le plan. Si \ vec {b} \ cdot \ vec {N} \ neq 0, alors la ligne ne se trouve pas dans le plan.


Réponse 2:

Dans 3 espaces, une ligne et un plan peuvent interagir de trois manières:

  1. Aucun des points sur la ligne n'est également des points sur le plan. Dans ce cas, la ligne est parallèle au plan mais n'est pas sur le plan.
  2. Exactement l'un des points sur la ligne sont également des points sur le plan. Dans ce cas, la ligne puis le plan ne sont pas parallèles, donc le point unique est l'endroit où la ligne passe à travers le plan.
  3. Tous les points de la ligne sont sur le plan. Dans ce cas, la ligne est sur le plan.

Donc, testez pour voir deux points de la ligne existent également sur le plan. Si tel est le cas, alors tous les points de la ligne doivent être sur le plan, donc la ligne se trouve sur le plan. Sinon, il s'agit du premier ou du deuxième cas.


Réponse 3:

Il n'y a que deux possibilités:

a) La ligne droite ne repose pas sur l'avion.

b) La ligne droite se trouve sur le plan.

Dans le premier cas, entre la ligne et le plan, il existe un et un seul point commun.

Donc, si entre la ligne et le plan il y a plus d'un point commun, alors toute la ligne se trouve sur le plan, car seuls deux points sont nécessaires pour définir la ligne entière d'une manière unique.


Réponse 4:

Si vous avez les équations, alors:

  1. Deux solutions pour la ligne dans les paramètres du plan doivent également être des solutions pour le plan.
  2. Une solution pour la ligne dans les paramètres du plan doit également être une solution pour le plan ET le vecteur de la ligne doit correspondre à un vecteur qui existe sur le plan.

Réponse 5:

Une ligne est toujours sur au moins un plan. Théoriquement, il s'aligne sur des plans infinis se croisant à travers la ligne. Une preuve mathématique montrerait que pour un plan donné, tous les points de la ligne se situent dans les limites des plans.